СЕМИНАР ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Руководитель: академик РАН И.Г. ГОРЯЧЕВА

XIII-ое ЗАСЕДАНИЕ 19 мая 2008 г., 15-00, ауд. 240

Доклад профессора Д.В. Георгиевского (Механико-математический факультет МГУ)

"ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ СООТНОШЕНИЯМИ"

Изучается устойчивость процессов деформирования материалов с определяющими соотношениями, связывающими напряжения и скорости деформаций, которые описываются изотропными, вообще говоря, тензорно нелинейными функциями. Приводятся необходимые сведения из аппарата тензорных функций, включая взаимосвязи инвариантов, условия потенциальности, случаи квазилинейности, а также устанавливается соответствие с терминологией сред, принятой в механике сплошной среды (речь идёт о вязкопластических, идеальножёсткопластических средах, нелинейно-вязких и ньютоновских жидкостях).

Формулируется линеаризованная задача устойчивости относительно возмущений скоростей и давления, в которой участвуют полученные после линеаризации определяющие соотношения. В качестве граничных условий могут быть выбраны не только традиционные условия прилипания, но и статические условия, а также условия на свободной поверхности.

Для анализа данной задачи устойчивости аналитически развивается метод интегральных соотношений, позволяющий получать достаточные оценки устойчивости в энергетических пространствах L2 или H2, т. е. нижние оценки критических параметров. Доказываются основные теоремы устойчивости, относящиеся к нестационарному и, как частный и весьма важный случай, стационарному основному течению. В случае стационарности задача устойчивости сводится к спектральной проблеме и анализу поведения на комплексной плоскости спектрального параметра.

Для сдвиговых основных течений доказывается обобщённая теорема Сквайра, налагающая условия, при которых картину возмущений достаточно выбирать только в плоскости сдвига.

В качестве иллюстрирующих примеров приводится анализ с помощью метода интегральных соотношений классического уравнения Орра – Зоммерфельда с различными граничными условиями, а также обобщённого уравнения Орра – Зоммерфельда, описывающего сдвиговую устойчивость вязкопластического материала (модель Шведова – Бингама). В последнем случае делается вывод о стабилизирующем влиянии пластической составляющей по отношению к чисто вязкому течению.