СЕМИНАР ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Руководитель: академик РАН И.Г. ГОРЯЧЕВА

15-ое ЗАСЕДАНИЕ 22 сентября 2008 г., 14-00, ауд. 240

Доклад д.ф.-м.н. С.Г. Пшеничнова (НИИ механики МГУ)

"НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ"

Рассматриваются динамические начально-краевые задачи, описывающие переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах в рамках модели Больцмана-Вольтерра при малых деформациях. Обсуждаются вопросы, связанные с построением решений задач такого класса и касающиеся формы представления этих решений в предположении выполнения следующих шести условий:

• область распространения возмущений ограничена;
• хотя бы одно из ядер релаксации не нулевое (материал не является упругим);
• ползучесть материала ограничена;
• перемещения тела как жесткого целого исключены;
• компоненты вектора объемных сил (если они учитываются) с течением времени устанавливаются, стремясь к некоторым функциям пространственных координат;
• зависимость от времени внешних воздействий на границы тела выражается функцией Хевисайда (если эта зависимость выражается функцией времени общего вида, то соответствующее решение получается с помощью интегральной свертки Дюамеля с решением при хевисайдовском воздействии).

Способ построения решений задач указанного класса основывается на известном приеме – интегральном преобразовании Лапласа по времени с последующим обращением. Выполнению операции обращения (наиболее сложному этапу) и посвящены исследования автора. Формулируется и доказывается ряд общих утверждений о характере особых точек Лапласовых трансформант решений задач рассматриваемого типа, даются различные формы представления оригинала. Выявляется взаимосвязь между исходной нестационарной задачей линейной вязкоупругости и задачей о свободных колебаниях рассматриваемого тела, а также со статической задачей теории упругости, в которой в качестве упругих констант выступают длительные модули. Оригинальность результатов заключается в том, что, в отличие от большинства известных работ, разрабатываемые методики позволяют построить решение в произвольном временном диапазоне, как при регулярных, так и при сингулярных наследственных ядрах без предположения о малости вязкости или какой-либо зависимости между ядрами. Предлагаемые методики реализованы при построении решений целого ряда одномерных и неодномерных нестационарных динамических задач для однородных и слоистых линейно-вязкоупругих тел. Представлены характерные результаты расчетов параметров переходных волновых процессов на основе полученных формул при конкретных исходных данных.

При изучении динамики вязкоупругих тел возникает вопрос о том, в какой мере влияет на характер переходного процесса принадлежность наследственных ядер тому или иному классу функций, а также о том, какие именно параметры ядер при этом наиболее существенно проявляются. В связи с этим интересно исследовать возможность замены в динамической задаче изначально заданного ядра, принадлежащего некоторому заданному классу функций на соответствующее ядро другого (выбранного) класса при сохранении всех прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий), так, чтобы это не оказало значительного влияния на переходный волновой процесс. Автором формулируются соотношения, устанавливающие соответствие («эквивалентность») между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных динамических задачах схожим образом. Представлены результаты, подтверждающие правомерность этих соотношений в определенном диапазоне изменения исходных данных.