СЕМИНАР ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Руководитель: академик РАН И.Г. ГОРЯЧЕВА
16-ое ЗАСЕДАНИЕ 6 октября 2008 г., 14-00, ауд. 240
Доклад доцента Степановой Л.В. (Самарский госуниверситет)
"СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН"
Представлен класс автомодельных решений задач о стационарных трещинах в связанной постановке (в связке ползучесть – поврежденность). В рамках связанной постановки задачи, когда параметр сплошности (поврежденности) входит в определяющие соотношения материала, удается оценить влияние процесса накопления рассеянных повреждений на напряженно-деформированное состояние вблизи вершины трещины и, с другой стороны, описать влияние эволюции напряжений и деформаций на рост повреждений в окрестности вершины трещины.
Установлено, что уравнения связанной задачи о стационарной или растущей трещине в условиях ползучести при использовании степенного закона Бейли – Нортона теории установившейся ползучести и кинетического уравнения Качанова – Работнова, постулирующего степенной закон накопления повреждений, допускают введение автомодельной переменной и автомодельную формулировку.
С помощью разложений компонент тензора напряжений и параметра сплошности в ряды по собственным функциям получены приближенные решения задач о стационарных трещинах (антиплоского сдвига, нормального отрыва и поперечного сдвига) в условиях ползучести (с определяющими соотношениями, построенными на основе степенного закона Бейли – Нортона теории установившейся ползучести) в связанной постановке.
Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обращаются в нуль. Определена геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения материала и кинетическое уравнение. Показано, что, если граничное условие в бесконечно удаленной точке формулировать как условие асимптотического сближения с решением Хатчинсона – Райса – Розенгрена, то границы области полностью поврежденного материала, определяемые посредством двух-, трех- и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности, существенно различаются по размерам и форме. На основании проведенного асимптотического анализа и полученного численного решения нелинейной задачи на собственные значения установлена новая асимптотика дальнего поля напряжений, определяющая геометрию и приводящая к близким конфигурациям области полностью поврежденного материала, построенным с помощью двух-, трех- и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности.
Показано, что проблема определения напряженно-деформированного состояния вблизи кончика дефекта приводит к нелинейной задаче на собственные значения, одно собственное значение которой хорошо известно в нелинейной механике разрушения и соответствует ставшей уже классической задаче Хатчинсона – Райса – Розенгрена. Однако асимптотический анализ уравнений задачи о трещине в связанной постановке указывает на необходимость определения всего спектра собственных значений сформулированной нелинейной задачи на собственные значения, что является предметом отдельного исследования. Для проблемы антиплоского сдвига пространства с полубесконечным разрезом методом возмущений получено точное аналитическое решение нелинейной задачи на собственные значения. Найдена аналитическая зависимость собственного значения как функции от показателя нелинейности материала (показателя степени степенного закона связи между напряжениями и скоростями деформаций) и собственного значения, соответствующего линейной задаче: ^=^(n,^0). Для более сложных с математической точки зрения и важных с практической точки зрения проблем о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига получены численные решения задач на собственные значения и даны асимптотические оценки собственных значений, определенные методом возмущений. Показано, что численное и приближенное решения хорошо согласуются друг с другом (для малых значений показателя нелинейности материала).