Научный отчет № 4445

Название

К методике определения фундаментальной системы решений уравнений N-го порядка бесселевого типа и их приложения в МТДТ. Часть I.

Авторы

Король Е.З., Измайлова М.Е., Король М.Е.

Аннотация

Разработана методика определения фундаментальной системы решений обыкновенных дифференциальных уравнений N-ого порядка бесселевого типа, к которым приводятся многие задачи механики твердых деформируемых тел, в частности, теории изгиба линейно-упругих цилиндрически ортотропных тонких круговых пластин и оболочек вращения на линейно- упругом основании. Уравнения рассмотренного типа содержат дифференциальный оператор Бесселя N-ого порядка, состоящий из эйлерова оператора и добавки в виде произведения искомой функции на целую степень независимого переменного. Методика основана на использовании процедур, подобных алгоритмам Неймана и Вебера, разработанных для уравнений второго порядка, при представлении искомых решений в виде степенного ряда. С этой целью исходное уравнение в нормальной форме преобразуется с помощью построенных матриц преобразования дифференциально-степенного и n-кратного дифференциально-степенного операторов к полиномиальному виду; при этом коэффициенты (параметры) полиномиальной формы определяют характеристические показатели решений в виде степенного ряда. В зависимости от значений характеристических показателей и образованных из них мультипликаторов, равных попарным разностям расположенных в убывающей последовательности показателей, отнесенных к показателю степени добавочного члена бесселева оператора, производится классификация элементов антисимметричной матрицы мультипликаторов и соответствующих ей решений. Для дробных действительных мультипликаторов - решения первого рода, для целочисленных действительных - решения первого. второго и q-того рода. Род решения определяется по числу целочисленных параметров (мультипликаторов) сопряжения решений. Для получения решений второго и более высокого рода устанавливается зависимость решений первого рода и числовые коэффициенты пропорциональности, по которым, используя обобщенную формулу Неймана, строится решение по предельному реккурентному отношению разности двух соответствующих комбинаций сопряженных решений предыдущего рода к синусу угла, равного произведению параметра сопряжения на число π. В результате предельного перехода операция сводится к повторному частному дифференцированию по параметрам сопряжения пар корневых функций ωₖ и ωₗ.

Год публикации

1996 г.

Объём

79 с.

Научный руководитель

Король Е.З.

Ключевые слова

обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные операторы, эйлеров, бесселев, дифференциально-степенной, полиномиальная форма, матрицы преобразований операторов, характеристические показатели, мультипликаторы дробные, целые, комплексные и действительные, характеристические уравнения основное и дополнительное, сопряженные по параметру решения, решения первого, второго, третьего и q-того рода, формулы Неймана и Вебера, обобщенные формулы Неймана и Вебера.