Научный отчет № 4514

Название

Малые колебания тонких ортотропных круговых пластин.

Авторы

Король Е.З.

Аннотация

Приводятся основные уравнения теории малых колебаний тонких линейно-термоупругих (по Гуку-Дюамелю-Нейману) анизотропных круговых пластин, главные оси анизотропии (ортотропии) совпадают с линиями главных кривизн (радиусами и окружностями). Малые деформации при изгибе определены тензором деформаций Коши, кинематическими соотношениями Кирхгоффа-Лява или Тимошенко и принципа замещения, согласно которого кривизны и геометрические характеристики эквидистантных слоев, отстоящих на одном и том же расстоянии, совпадают с геометрическими характеристиками поверхности приведения. Обобщенные удельные усилия, статически эквивалентные интегральным внутренним усилиям про¬дольного растяжения-сжатия и поперечного сдвига, изгибающим и крутящему моментам относительно осей, связанных с геометрией поверхности приведения, так же определены с использованием принципа замещения (без учета изменяемости геометрических параметров эквидистантных слоев) когда слои пластины не испытывают давления друг на друга и в них реализуется обобщенное плоское напряженное состояние. Выписаны уравнения совместности деформаций (Гаусса-Кодацци) поверхности приведения и уравнения движения для неосесимметричного нагружения круговых пластин. При этом разрешающая система уравнений представляет собой систему из двух связных и одного несвязного уравнений относительно компонент смещений поверхности приведения. В настоящем отчете представлены: Основные уравнения малых колебаний тонких линейно-термоупругих анизотропных круговых пластин, главные оси ортотропии которых совпадают с координатными линиями - линиями главных кривизн, при неосесимметричном нагружении. Используя Фурье-разложения искомых функций (компонент смещений, удельных продольных и сдвиговых усилий, а также удельных изгибающих и крутящего моментов) и поперечных усилий, изменяющихся синусоидально во времени, выписывается разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент разложения: связная система включает эйлеровы операторы первого и второго порядков и бесселевы операторы второго и четвертого порядков. Связная система уравнений путем повторного дифференцирования (эйлеровы операторы второго и первого порядков) приводится к последовательно связной: одно однородное уравнение пятого порядка бесселевого типа, одно уравнение неоднородное первого порядка эйлерова типа и одно однородное бесселевого типа четвертого порядка. Первые два (относительно компонент смешений в плоскости) решаются последовательно, а третье - независимое относительно поперечных смещений. Фундаментальная система решений редуцированной системы (повышенного порядка) уравнений содержит большее число функций и постоянных интегрирования. Для однозначной определимости этих постоянных сформулированы условия, аналогичные условия единственности решения второй классической краевой задачи Неймана для операторов Лапласа и Пуассона, которые вытекают из интегральных условий равновесия пластины в целом проекции "фиктивных” поверхностных и массовых нагрузок на два направления и суммарный момент их относительно центра уравновешиваются соответствующими краевыми нагрузками и их моментами. Фундаментальная система решений, как решений уравнений бесселевого типа, представляется в виде обобщенных степенных рядов. Рассмотрены различные комбинации характеристических параметров основного и дополнительных эйлеровых операторов и их мультипликаторов. Рассмотрены задачи об осесимметричных формах продольных и поперечных колебаний круговой анизотропной пластины и на примере свободно опертой по внутреннему контуру пластины иллюстрируется практическая эффективность полученных точных аналитических решений при определении собственных частот (получено три первых тона). При численном решении частотного уравнения с точными аналитическими функциями смещений в виде ”быстроменяющихся” степенных рядов проводится нормировка разрешающей функции: для рассмотренных задач это произведение степени (от второй до седьмой) и экспоненты, зависящих от частоты. Разработаны методики и программы решения частотных уравнений для осесимметричных форм колебаний на персональных ЭВМ с использованием систем MATHCAD 5.0 и MATHCAD 6.0 PLUS в среде WINDOWS 95 и процессоров не ниже 386,486 и т.д.(для расчета одного варианта производится 3*10⁶ и более операций на что затрачивается 20-25 минут на процессоре 386 и 6-7 минут на Pentium процессоре). Разработанные методика и программы позволяют решать ряд практических задач теории малых колебаний круговых анизотропных пластин. Приведены новые формулы для частных решений неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка эйлерова и бесселевого типов. Эти формулы в частных случаях совпадают с известными и представляют собой квадратуры для произвольных интегрируемых правых частей (функций). Их вывод основан на представлении уравнений в полиномиальной форме и далее, не используя метод вариации, производя n-кратное интегрирование, решение представляется в виде n-кратного интеграла, а интегрируя по частям - в виде суммы n квадратур. Формулы справедливы как для простых характеристических параметров так и для кратных, как для действительных так и для комплексных.

Год публикации

1998 г.

Объём

87 с.

Научный руководитель

Григолюк Э.И.

Ключевые слова

тонкие круговые пластины, уравнения малых колебаний, линейная термоупругость анизотропных тел.