Научный отчет № 4568

Название

Применение функций комплексного переменного к задачам деформирования тонких пластинок.

Авторы

Шарафутдинов Г.З.

Аннотация

В отчете рассматривается применение функций комплексного переменного к решению задач теории упругости. Цель работы - развитие методов решения плоских задач применительно к тонким пластинкам переменной толщины. Предполагается, что два из компонент вектора перемещений есть функции двух переменных, а третий компонент линейно зависит, кроме того, от третьей пространственной координаты. В силу этого уравнения равновесия приобретают вид, позволяющий ввести функцию напряжений, которая являясь бигармонической, при помощи формулы Гурса выражается через два комплексных потенциала. В дополнение к ним введен третий комплексный потенциал. Получены представления компонент вектора перемещения и тензора напряжений при помощи введенных трех комплексных потенциалов и проведены необходимые исследования постановок задач, характерные для случая применения комплексного переменного в задачах теории упругости. Сформулированы граничные условия относительно комплексных потенциалов и исследована степень их определенности. Установлено, что полученные при помощи трех комплексных потенциалов представления компонент вектора перемещения и тензора напряжений согласуются с известными представлениями плоской задачи теории упругости; в частности, выражения для компонент вектора перемещения при введении соответствующих упрощений сводятся к формулам Г.В. Колосова. Установлено также, что выражения для компонент тензора напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности в форме уравнений Бельтрами - Мичелла. Метод использован для решения в трехмерной постановке задач об одноосном растяжении бесконечной пластинки постоянной толщины со свободным круговым отверстием в одном и со свободным эллиптическим отверстием - в другом. Обнаружена зависимость решений этих задач от упругих постоянных и существенное влияние касательных напряжений. Полученные решения сводятся к решениям соответствующих плоских задач теории упругости, если коэффициент Пуассона и толщину пластинки устремить к нулю.

Год публикации

2000 г.

Объём

56 с.

Научный руководитель

Шарафутдинов Г.З.

Ключевые слова

теория упругости, тонкие пластинки, напряжения, деформации, перемещения, методы решения, комплексные потенциалы, конформное отображение, эллиптическое отверстие, трещины.