СЕМИНАР ПО МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
Уважаемые коллеги!
В среду, 25 сентября 2019 г., в кинозале Института механики МГУ в 12.00 состоится очередное заседание семинара по механике сплошных сред под руководством А.Г. Куликовского, В.П. Карликова и О.Э. Мельника.
Петров А.Г.
Институт проблем механики РАН имени А.Ю. Ишлинского, Москва
ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ БЕЗ НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Доклад посвящен конструированию численных схем без насыщения для линейных операторов, действующих на периодические функции. Понятие насыщаемости и ненасыщаемости численной схемы введено К. И. Бабенко. В зависимости от числа узлов сетки N погрешность насыщаемых численных схем убывает по степенному закону N-k, тогда как в схеме без насыщения она убывает значительно быстрее - по экспоненциальному закону Exp(- C N). Такие схемы называются сверхсходящимися. Предлагается общий метод конструирования квадратурных формул для интегральных операторов, точных для N первых гармоник. Сформулированы достаточные условия, при которых квадратурных формулы имеют экспоненциальную сходимость и являются сверхсходящимися. В качестве примеров выведены квадратурные формулы для интегральных операторов с логарифмической особенностью, которые используются в методе граничных элементов.
Рассматриваются приложения к построению сверхсходящихся схем для решения общих краевых задач для гармонического и бигармонического уравнений на плоскости. Для этого используется интегральное уравнение на произвольном гладком замкнутом граничном контуре. Интегральные операторы действуют на функции, определенные на контуре и имеющие естественный период, равный длине контура. При увеличении числа узлов сетки по арифметической прогрессии погрешность решения по схеме без насыщения убывает по геометрической прогрессии. Предлагаемый метод иллюстрируется на ряде примеров решений краевых задач с приложениями к механике: формирование сверхтонких высокоскоростных кумулятивных струй, обрушение волн, теплопередача, течение вязкой жидкости в многосвязных областях, задачи теории упругости.